Question

17．通过伸缩变换，下列曲线形态可能发生是（　　）
（1）直线（2）圆（3）椭圆（4）双曲线（5）抛物线．

• A． （2）（3）
• B． （1）（4）（5）
• C． （1）（2）（3）
• D． （2）（3）（4）（5）

Answer 1

分析 分别求出各曲线在变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=μy}\end{array}\right.$后的曲线，根据变换后的曲线方程判断曲线形态是否发生变化．

解答 解：设变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=λx}\\{y′=μy}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{x′}{λ}}\\{y=\frac{y′}{μ}}\end{array}\right.$，
（1）直线ax+by+c=0在变换作用下变为$\frac{a}{λ}x′$+$\frac{b}{μ}y′$+c=0，仍表示一条直线，
（2）圆x²+y²+Dx+Ey+F=0在变换作用下变为$\frac{x{′}^{2}}{{λ}^{2}}$+$\frac{y{′}^{2}}{{μ}^{2}}$+$\frac{D}{λ}x′$+$\frac{E}{μ}y′$+F=0，
∴当λ²≠μ²时，曲线表示椭圆．
（3）椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$在变换作用下变为$\frac{x{′}^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}$+$\frac{y{′}^{2}}{{μ}^{2}{b}^{2}}$=1，
∴当λ²a²=μ²b²时，曲线表示圆．
（4）双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$在变换作用下变为$\frac{x{′}^{2}}{{λ}^{2}{a}^{2}}$-$\frac{y{′}^{2}}{{μ}^{2}{b}^{2}}$=1，曲线仍是双曲线．
（5）抛物线y²=2px在变换作用下变为$\frac{y{′}^{2}}{{μ}^{2}}$=$\frac{2p}{λ}x′$，即y′²=$\frac{2p{μ}^{2}}{λ}$x′，曲线仍是抛物线．
故选A．

点评 本题考查了伸缩变换，曲线方程与形状判断，属于基础题．