Question

2．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，且b=$\sqrt{3}$．数列{a_n}是等比数列，且首项a₁=$\frac{1}{2}$，公比为$\frac{sinA}{a}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=-$\frac{lo{g}_{2}{a}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由△ABC的三个角A，B，C成等差数列，求得B，由正弦定理求出公比；
（Ⅱ）${b_n}=-\frac{{{{log}_2}{a_n}}}{a_n}=n•{2^n}$，由错位相加法求和．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC的三个角A，B，C成等差数列，∴B=60°，
$\frac{sinA}{a}=\frac{sinB}{b}=\frac{1}{2}$，a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（Ⅱ）${b_n}=-\frac{{{{log}_2}{a_n}}}{a_n}=n•{2^n}$
 ${S_n}=1×2+2×{2^2}+…+n×{2^n}$；
 2${S_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+…+（n-1）×{2^n}+n×{2^{n+1}}$
-s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2--n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
则s_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了等比数列的通项，错位相减法求和，属于中档题．