Question

14．已知：复数z₁=2sinAsinC+（a+c）i，z₂=1+2cosAcosC+4i，且z₁=z₂，其中A、B、C为△ABC的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ） 若$b=2\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据复数相等得到2sinAsinC=1+2cosAcosC，根据两角和余弦公式和诱导公式，即可求出B的大小；
（Ⅱ）由余弦定理可以及a+c=4，可得ac，再根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（Ⅰ）∵z₁=z₂
∴2sinAsinC=1+2cosAcosC----①，a+c=4----②，
由①得2（cosAcosC-sinAsinC）=-1
即$cos（A+C）=cos（π-B）=-cosB=-\frac{1}{2}$，
∴$cosB=\frac{1}{2}$，∵0＜B＜π∴$B=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵$b=2\sqrt{2}$，由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB⇒a²+c²-ac=8，--④，
由②得a²+c²+2ac=16------------⑤
由④⑤得$ac=\frac{8}{3}$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×\frac{8}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查两角和的余弦公式和余弦定理的应用，以及三角形的面积公式，属于基础题．