Question

7．已知f（x）=ln（e^x+a）是定义域为R的奇函数，g（x）=λf（x）．
（1）求实数a的值；
（2）若g（x）≤x²+2x+4在x∈（0，+∞）时恒成立，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=ln（e^x+a）是定义域为R的奇函数，可得f（0）=0，进而得到a值；
（2）若g（x）≤x²+2x+4在x∈（0，+∞）时恒成立，则λ≤$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$+2，结合基本不等式可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=ln（e^x+a）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=ln（1+a）=0．
∴a=0，…4分
经检验a=0符合题意；           …5分
（2）由（1）得：f（x）=lne^x=x，
∴g（x）=λf（x）=λx                …6分
∵g（x）≤x²+2x+4在x∈（0，+∞）时恒成立
∴λ≤$\frac{{x}^{2}+2x+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$+2≥6…10分
（当且仅当x=$\frac{4}{x}$，即x=2取得最小值）…11分
∴λ≤6               …12分．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，恒成立问题，基本不等式，难度中档．