Question

13．直角三角形ABC中角A，B，C对边长分别为a，b，c，∠C=90°．
（1）若三角形面积为2，求斜边长c最小值；
（2）试比较aⁿ+bⁿ与cⁿ（n∈N^*）的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由$S=\frac{1}{2}$ab=2，可得：ab=4．由∠C=90°，可得a²+b²=c²，利用基本不等式的性质即可得出．
（2）①当n=1时，利用三角形三边大小关系可得a+b＞c；
②当n=2时，由∠C=90°，利用勾股定理可得a²+b²=c²；
③当n≥3时，设cosθ=$\frac{a}{c}$，sinθ=$\frac{b}{c}$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．由$（\frac{a}{c}）^{n}+（\frac{b}{c}）^{n}$=cosⁿθ+sinⁿθ，再利用三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵$S=\frac{1}{2}$ab=2，∴ab=4．
∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²≥2ab=8，解得c≥$2\sqrt{2}$．当且仅当a=b=2时取等号．
∴斜边长c最小值为2$\sqrt{2}$．
（2）①当n=1时，a+b＞c；
②当n=2时，∵∠C=90°，∴a²+b²=c²；
③当n≥3时，设cosθ=$\frac{a}{c}$，sinθ=$\frac{b}{c}$，$θ∈（0，\frac{π}{2}）$．
则$（\frac{a}{c}）^{n}+（\frac{b}{c}）^{n}$=cosⁿθ+sinⁿθ＜cos²θ+sin²θ=1，
∴aⁿ+bⁿ＜cⁿ．

点评 本题考查了基本不等式的性质、三角形三边大小关系、勾股定理、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．