Question

16．过点M（2，0）的直线l与抛物线C：y²=4x交于A，B两点，直线OA，OB（O为坐标原点）与抛物线C的准线分别交于点S，T．
（1）设F为抛物线C的焦点，k₁，k₂分别为直线FS，FT的斜率，求k₁k₂的值；
（2）求$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设直线l：x=my+2，代入抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，即可得到所求值；
（2）由（1）|AM|=$\sqrt{（2-{x}_{1}）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₁|，同理可得|BM|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₂|，设y₁＞0，y₂＜0，求得$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|BM|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$（$\frac{1}{{y}_{1}}$-$\frac{1}{{y}_{2}}$）=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$•$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}{y}_{2}}$，代入韦达定理，化简整理，由不等式的性质，即可得到所求范围．

解答 解：（1）设直线l：x=my+2，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得y²-4my-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则△=16m²+32＞0，
即有y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，
x₁x₂=$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}{16}$=4，
又F（1，0），准线为x=-1，
由直线OA：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x，可得S（-1，-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$），
同理可得T（-1，-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$），
可得k₁k₂=$\frac{{y}_{1}}{2{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{2{x}_{2}}$=$\frac{-8}{16}$=-$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）|AM|=$\sqrt{（2-{x}_{1}）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₁|，
同理可得|BM|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₂|，
可设y₁＞0，y₂＜0，
即有$\frac{1}{|AM|}$+$\frac{1}{|BM|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$（$\frac{1}{{y}_{1}}$-$\frac{1}{{y}_{2}}$）=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$•$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$•$\frac{\sqrt{16{m}^{2}+32}}{8}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{2+{m}^{2}}{1+{m}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+\frac{1}{1+{m}^{2}}}$，
由m²≥0，可得0＜$\frac{1}{1+{m}^{2}}$≤1，
则$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+\frac{1}{1+{m}^{2}}}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有$\frac{1}{|MA|}$+$\frac{1}{|MB|}$的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

点评 本题考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，以及弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．