Question

已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆C过点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）点A为椭圆C的右顶点，过点作直线与椭圆C相交于E，F两点，直线AE,AF与直线分别交于不同的两点M,N，求的取值范围.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由题设知椭圆中心在原点，一个焦点坐标为，且过点，于是可设出其标准方程,并用待定系数法求出的值进而确定椭圆的方程.

（2）当直线的斜率存在且不为零时，由题意可设直线的方程为，

与椭圆方程联立组成方程组消去并结合韦达定理得到，据此可将化成关于的函数而求解.

注意对直线的斜率不存在及斜率为零的情况，要单独说明.

【解析】
（1）抛物线的准线方程为： 1分

设椭圆的方程为，则

依题意得，解得，.

所以椭圆的方程为. 3分

（2）显然点.

（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，

易得，，

所以. 5分

（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，,显然 时，不符合题意.

由得. 6分

则. 7分

直线，的方程分别为：，

令，则.

所以，. 9分

所以

. 11分

因为，所以，所以，即.

综上所述，的取值范围是. 13分

考点：1、椭圆的标准方程；2、抛物线的标准方程；3、直线与椭圆位置关系综合问题.