Question

17．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，延长AC交△DCE的外接圆于点F，DF=$\sqrt{14}$．
（Ⅰ）求BD；
（Ⅱ）若∠AEF=90°，AD=3，求DE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明△ABD≌△AFD，即可求BD；
（Ⅱ）证明△AFE∽△FDE，可得$\frac{AE}{EF}=\frac{EF}{DE}$，建立方程，即可求DE的长

解答 解：（Ⅰ）在△ABC的外接圆中，∠ABC=∠AEC，
△DCE的外接圆中，∠DEC=∠DFC，∴∠ABC=∠DFC，…（2分）
∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，∴△ABD≌△AFD，∴$BD=DF=\sqrt{14}$．…（4分）
（Ⅱ）设DE=x，∠AEF=90°，$DF=\sqrt{14}$，$EF=\sqrt{14-{x^2}}$，…（6分）
由（Ⅰ）同理可得∠BAD=∠BCE，∠DCE=∠DFE，∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠DFE，∴△AFE∽△FDE，∴$\frac{AE}{EF}=\frac{EF}{DE}$，…（8分）
则$\frac{3+x}{{\sqrt{14-{x^2}}}}=\frac{{\sqrt{14-{x^2}}}}{x}$，
∴2x²+3x-14=0，∴x=2（$x=-\frac{7}{2}$不合题意，舍去），
∴DE=2．…（10分）

点评 本题考查三角形相似的判定与性质，考查三角形全等的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．