已知圆O:x2+y2=r2的任意一条切线l与椭圆$M:\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$都有两个不同的交点A.B．(1)求圆O半径r的取值范围,(2)是否存在圆O.满足OA⊥OB恒成立?若存在.求出圆O的方程及$|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|$的最大值,若不存在.说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知圆O：x²+y²=r²的任意一条切线l与椭圆$M：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$都有两个不同的交点A，B．
（1）求圆O半径r的取值范围；
（2）是否存在圆O，满足OA⊥OB恒成立？若存在，求出圆O的方程及$|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|$的最大值；若不存在，说明理由．

分析（1）要使圆O：x²+y²=r²的任意一条切线l与椭圆$M：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$都有两个不同的交点，则圆必在椭圆的内部即可．
（2）设出切线的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和两直线垂直的条件，化简整理，即可得到半径r的值．由OA⊥OB，即$|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|$=r•AB，可得$|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|$的最大值．

解答解：（1）要使圆O：x²+y²=r²的任意一条切线l与椭圆$M：\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$都有两个不同的交点，
则圆必在椭圆的内部，∴0＜r＜$\sqrt{3}$．
（2）设圆的切线方程y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-6=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-6}{1+2{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=$\frac{{m}^{2}-6{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$．
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0⇒m²=2k²+2，…①
∵y=kx+m与圆O：x²+y²=r²相切，∴r²=$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$…②
由①②得r²=2，此时圆的方程为：x²+y²=2，
当切线的斜率不存在时，切线方程为x=±$\sqrt{2}$
A（$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），B（$\sqrt{2}，-\sqrt{2}$）或A（-$\sqrt{2，}\sqrt{2}$），B（-$\sqrt{2，}-\sqrt{2}$）满足条件
∴圆的方程为：x²+y²=2
∵|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$2\sqrt{2}\sqrt{1+\frac{1}{4{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+4}}≤3$，
当直线AB的斜率不存在或为0时，|AB|=2$\sqrt{2}$．
∴|AB|≤3
∵OA⊥OB，∴$|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|$=r•AB，
$|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OB}}|$的最大值3$\sqrt{2}$．

点评考查直线和圆相切，以及直线和椭圆联立运用韦达定理和两直线垂直的条件：数量积为0，考查化解在合理的运算能力，属于中档题．

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