Question

14．已知A、B、F分别是椭圆${x^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（0＜b＜1）$的右顶点、上顶点、左焦点，设△ABF的外接圆的圆心坐标为（p，q）．若p+q＞0，则椭圆的离心率的取值范围为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 分别求出线段FA与AB的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P，利用p+q＞0，与离心率计算公式即可得出．

解答 解：如图所示，
线段FA的垂直平分线为：x=$\frac{1-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2}$．
线段AB的中点（$\frac{1}{2}$，$\frac{b}{2}$）．
∵k_AB=-b．
∴线段AB的垂直平分线的斜率k=$\frac{1}{b}$．
∴线段AB的垂直平分线方程为：y-$\frac{b}{2}$=$\frac{1}{b}$（x-$\frac{1}{2}$），
把x=$\frac{1-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2}$=p代入上述方程可得：y=$\frac{{b}^{2}-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2b}$=q．
∵p+q＞0，
∴$\frac{1-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2}$+$\frac{{b}^{2}-\sqrt{1-{b}^{2}}}{2b}$＞0．
化为：b＞$\sqrt{1-{b}^{2}}$，又0＜b＜1，
解得$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜b＜1．
∴e=$\frac{c}{a}$=c=$\sqrt{1-{b}^{2}}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．