Question

13．已知$\frac{π}{4}＜α＜\frac{3π}{4}，0＜β＜\frac{π}{4}，cos（\frac{π}{4}+α）=-\frac{4}{5}，sin（\frac{3π}{4}+β）=\frac{12}{13}$．
（1）求sin（α+β）的值；
（2）求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数的基本关系求得sin（$\frac{π}{4}$+α）和cos（$\frac{3π}{4}$+β）的值，再利用两角差的正弦公式求得要求式子的值．
（2）根据cos（α-β）=sin[-（$\frac{π}{4}$+α）+（$\frac{3π}{4}$+β）]，利用两角差的正弦公式，求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵已知$\frac{π}{4}＜α＜\frac{3π}{4}，0＜β＜\frac{π}{4}，cos（\frac{π}{4}+α）=-\frac{4}{5}，sin（\frac{3π}{4}+β）=\frac{12}{13}$，
∴$\frac{π}{4}$+α为钝角，sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（α+\frac{π}{4}）}$=$\frac{3}{5}$；
$\frac{3π}{4}$+β∈（$\frac{3π}{4}$，π），cos（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\sqrt{{1-sin}^{2}（\frac{3π}{4}+β）}$=-$\frac{5}{13}$．
∴sin（α+β）=-sin（π+α+β）=-sin[（$\frac{π}{4}$+α）+（$\frac{3π}{4}$+β）]
=-sin（$\frac{π}{4}$+α）cos（$\frac{3π}{4}$+β）-cos（$\frac{π}{4}$+α）sin（$\frac{3π}{4}$+β）=-$\frac{3}{5}$•（-$\frac{5}{13}$）-（-$\frac{4}{5}$）•$\frac{12}{13}$=$\frac{63}{65}$．
（2）cos（α-β）=cos（β-α）=sin[-（$\frac{π}{4}$+α）+（$\frac{3π}{4}$+β）]
=sin（$\frac{3π}{4}$+β） cos（$\frac{π}{4}$+α）-cos（$\frac{3π}{4}$+β） sin（$\frac{π}{4}$+α）=$\frac{12}{13}•（-\frac{4}{5}）$+$\frac{5}{13}$•$\frac{3}{5}$=-$\frac{33}{65}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的三角公式的应用，属于基础题．