Question

14．已知函数g（x）是y=a^x（a＞0且a≠1）的反函数，若函数f（x）=b+g（x）的定义域和值域都是[1，3]，则$\frac{a}{b}$=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{9}$
• D． $\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 求出g（x）的解析式，对底数a讨论，根据定义域和值域都是[1，3]，求出a，b的值，可得$\frac{a}{b}$的值．

解答 解：由题意：函数g（x）是y=a^x（a＞0且a≠1）的反函数，
∴g（x）=log_ax（a＞0且a≠1）
当0＜a＜1时，函数g（x）是减函数，
那么：f（x）=b+g（x）=log_ax+b也是减函数．
∵定义域和值域都是[1，3]，
故得：$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}1+b=3}\\{lo{g}_{a}3+b=1}\end{array}\right.$，
解得：a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=3
那么：$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
当a＞1时，函数g（x）是增函数，
那么：f（x）=b+g（x）=log_ax+b也是增函数．
∵定义域和值域都是[1，3]，
故得：$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}1+b=1}\\{lo{g}_{a}3+b=3}\end{array}\right.$，
解得：a=$\sqrt{3}$，b=1
那么：$\frac{a}{b}$=$\sqrt{3}$
故选B．

点评 本题考查了反函数的求法和对数函数的单调性的讨论．属于中档题．