Question

已知函数f（x）=x²+4x+3，
（1）若f（a+1）=0，求a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+cx为偶函数，求c的值；
（3）若函数g（x）=f（x）+cx在区间[-2，2]上是单调的，求c的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接由f（a+1）=0求解关于a的一元二次方程得答案；
（2）由函数为偶函数，可得f（-1）=f（1），代入原函数列关于c的方程得答案；
（3）由函数g（x）=x²+（4+c）x+3的对称轴小于等于-2或大于等于2得答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+4x+3，
由f（a+1）=0，得（a+1）²+4（a+1）+3=0，
解得：a=-2或a=-4；
（2）函数g（x）=f（x）+cx=x²+4x+3+cx=x²+（4+c）x+3，
若为偶函数，
则f（-1）=f（1），
即（-1）²-（4+c）+3=1²+4+c+3，
解得：c=-4；
（3）函数g（x）=f（x）+cx=x²+（4+c）x+3在区间[-2，2]上是单调的，
则其对称轴-

4+c

2

≤-2或-

4+c

2

≥2．
解得：c≤-8或c≥0．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，考查了二次函数单调性的应用，是中档题．