Question

（本小题满分12分）如图，在底面是正方形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．

（1）求证：BD⊥FG；

（2）当二面角B—PC—D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

（1）见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）要证明线线垂直，一般通过证明线面垂直得到，本题采用传统和向量法两种方法解决；传统法：由已知易得PA⊥BD，AC⊥BD，故BD⊥平面APC，从而BD⊥FG，向量法建系后只需证明0即可；（2）作BH⊥PC于H，易得∠BHD是二面角B－PC－D的平面角．即从而向量法可设A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）D（0，1，0）P（0，0，a）求得平面PBC的一个法向量为，平面PDC的一个法向量，由得，

试题解析：方法一：（1） PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，其对角线BD，AC交于点E

∴PA⊥BD，AC⊥BD，

∵PA交AC与点A ∴BD⊥平面APC 2分

∵FG平面PAC，∴BD⊥FG 4分

（2）作BH⊥PC于H，连接DH，∵PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴PB=PD，

又∵BC=DC，PC=PC，∴△PCB≌△PCD，∴DH⊥PC，且DH=BH，∴∠BHD是二面角B－PC－D的平面角．即 7分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角 8分

连结EH，则，

而， 10分

11分

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 12分

方法二：（1）以A为原点，AB，AD，PA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设正方形ABCD的边长为1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）

D（0，1，0），P（0，0，a）（a>0）, 1分

∵， 2分

∴BD⊥FG 4分

（2）设平面PBC的一个法向量为

则，而

，取，得， 8分

同理可得平面PDC的一个法向量，设所成的角为，

则

即 10分

∵PA⊥面ABCD，∴∠PCA就是PC与底面ABCD所成的角，

∴PC与底面ABCD所成角的正切值是 12分

考点：立体几何