Question

6．已知函数f（x）=ax³+x²+bx+2中a，b为参数，已知曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=6x-1，则f（-1）=1．

Answer 1

分析 求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程，从而得到关于a，b的方程组，解出即可．

解答 解：∵f（x）=ax³+x²+bx+2，
∴f′（x）=3ax²+2x+b，
故f（1）=a+b+3，f′（1）=3a+b+2，
故切线方程是：
y-（a+b+3）=（3a+b+2）（x-1），
即y=（3a+b+2）x-2a+1，
而y=6x-1，
则$\left\{\begin{array}{l}{3a+b+2=6}\\{-2a+1=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
故f（x）=x³+x²+x+2，
则f（-1）=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．