已知极坐标系的极点O在直角坐标系的原点处.极轴与x轴的正半轴重合.直线l的参数方程为:$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2mt}\\{y=2t\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$.曲线C的极坐标方程为:ρ=4cosθ.(1)写出C的直角坐标方程.并指出C是什么曲线,(2)设直线l与曲线C相交于P.Q两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知极坐标系的极点O在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的参数方程为：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2mt}\\{y=2t\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$（其中t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，
（1）写出C的直角坐标方程，并指出C是什么曲线；
（2）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．

分析（1）极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系即可得出普通方程；
（2）把直线的参数方程代入曲线C的普通方程得出P，Q对应的参数，从而求出|y_P-y_Q|，代入面积公式得出面积关于m的函数，使用换元法利用导数求出该函数的单调性，从而得出面积的最大值．

解答解：（1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，
把ρ²=x²+y²，ρcosθ=x代入上式得x²+y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4．
∴曲线C表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆．
（2）把$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2mt}\\{y=2t\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$代入x²+y²-4x=0得4（1+m²）t²-4mt-3=0，
设P，Q对应的参数分别为t₁，t₂，则t₁t₂=-$\frac{3}{4（1+{m}^{2}）}$，t₁+t₂=$\frac{m}{1+{m}^{2}}$．
∴|y_P-y_Q|=|2t₁-2t₂|=2|t₁-t₂|=2$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{4{m}^{2}+3}}{1+{m}^{2}}$．
设M（1，0），则S_△OPQ=S_△OMP+S_△OMQ=$\frac{1}{2}$|OM||y_P-y_Q|=$\frac{\sqrt{4{m}^{2}+3}}{1+{m}^{2}}$．
令$\sqrt{4{m}^{2}+3}$=t，则t≥$\sqrt{3}$，m²=$\frac{{t}^{2}-3}{4}$．
∴S_△OPQ=$\frac{4t}{{t}^{2}+1}$，令f（t）=$\frac{4t}{{t}^{2}+1}$，则f′（t）=$\frac{1-4{t}^{2}}{（1+{t}^{2}）^{2}}$＜0，
∴f（t）在[$\sqrt{3}$，+∞）上为减函数，
∴当t=$\sqrt{3}$时，f（t）取得最大值f（$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$．
∴当t=$\sqrt{3}$即m=0时，△OPQ的面积取得最大值$\sqrt{3}$．