Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，点P（a_n，S_n）在直线y=2x-2上（n∈N⁺）。
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记，数列{b_n}的前n项和为T_n，求使T_n>2011的n的最小值；
（3）设正数数列{c_n}满足，证明：数列{c_n} 中的最大项是c₂。

Answer 1

解：（1）依题意得S_n=2a_n-2，则n≥2时

∴n≥2时

即
又n=1时，a₁=2，
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，以2为公比的等比数列
∴。
（2）依题意
∴

由T_n＞2011得
即
当n≤1006（n∈N*）时，
当n≥1007（n∈N*）时

因此n的最小值为1007。
（3）由已知得
即（n+1）lnc_n=ln（n+1）
∴
令
则
∵当x≥3时，lnx>1，则1-lnx＜0，即f'（x）＜0
∴f（x）在[3，+∞）内为单调递减函数，
∴n≥2时，{lnc_n}是递减数列，即{c_n}是递减数列
∵c_n>0，
∴
∴数列{c_n}中的最大项为。