Question

6．每逢节假日，在微信好友群发红包逐渐成为一种时尚，还能增进彼此的感情.2016年春节期间，小鲁在自己的微信好友群中，向在线的甲、乙、丙、丁四位好友随机发放红包，发放的规则为：每次发放一个，每个人抢到的概率相同．
（1）若小鲁随机发放了3个红包，求甲至少抢到一个红包的概率；
（2）若丁因有事暂时离线一段时间，而小鲁在这段时间内共发放了3个红包，其中2个红包中各有10元，一个红包中有5元，记这段时间内乙所得红包的总钱数为X元，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“甲至少得1红包”为事件A，利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出甲至少抢到一个红包的概率．
（2）由题意知X可能取值为0，5，10，15，20，25，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）设“甲至少得1红包”为事件A，
由题意得：$P（A）=C_3^1×\frac{1}{4}×{（\frac{3}{4}）^2}+C_3^2×{（\frac{1}{4}）^2}×\frac{3}{4}+C_3^3×{（\frac{1}{4}）^3}×{（\frac{3}{4}）^0}=\frac{37}{64}$．
（2）由题意知X可能取值为0，5，10，15，20，25，
$P（X=0）={（\frac{2}{3}）^3}=\frac{8}{27}$，
$P（X=5）=\frac{1}{3}×{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{4}{27}$，
$P（X=10）=C_2^1×\frac{1}{3}×{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{8}{27}$，
$P（X=15）=\frac{4}{27}$，
$P（X=20）={（\frac{1}{3}）^2}×\frac{2}{3}=\frac{2}{27}$，
$P（X=25）={（\frac{1}{3}）^3}=\frac{1}{27}$，
∴X的分布列为：

X	0	5	10	15	20	25
P	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{2}{27}$	$\frac{1}{27}$

E（X）=$0×\frac{8}{27}+5×\frac{4}{27}+10×\frac{8}{27}$+$15×\frac{4}{27}+20×\frac{2}{27}+25×\frac{1}{27}$=$\frac{25}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．