Question

10．已知（$\frac{a}{{x}^{3}}$+$\frac{\sqrt{3}x}{3}$）¹⁰的展开式中x²项的系数是$\frac{1}{2}$，其中a＞0，则a的值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

Answer 1

分析 利用二项式定理的通项公式即可得出．

解答 解：二项式（$\frac{a}{{x}^{3}}$+$\frac{\sqrt{3}x}{3}$）¹⁰的展开式的通项T_r+1=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）^rC₁₀^ra^10-rx^4r-30，
令4r-30=2，解得r=8．
∴（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）⁸C₁₀⁸a²=$\frac{1}{2}$，
化为：a²=$\frac{9}{10}$，
解得a=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．