Question

16．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=λ|$\overrightarrow{a}$|，若$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，则正数λ的值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根据题意，得出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；又$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，得出|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，λ=2．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=λ|$\overrightarrow{a}$|，
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}$=λ²${\overrightarrow{a}}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
又$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为120°，
如图所示；
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|，
即|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2|$\overrightarrow{a}$|，λ=2．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的夹角问题，也考查了直角三角形的边角关系，是基础题．