Question

12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足$c（\sqrt{3}sinB+cosB）=a+b$．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）若a=5，△ABC的面积为$5\sqrt{3}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得$sinB（\sqrt{3}sinC-cosC-1）=0$，结合sinB≠0，可得：$sin（C-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，进而可求C的值．
（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求b，由余弦定理得c，进而利用正弦定理可求sinB的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，$c（\sqrt{3}sinB+cosB）=a+b$，
可整理变形为：$sinC（\sqrt{3}sinB+cosB）=sinA+sinB$，----------------------（2分）
由A=π-（B+C），可得：sinA=sin（B+C）
所以：$sinC（\sqrt{3}sinB+cosB）=sin（B+C）+sinB$，
整理得：$sinB（\sqrt{3}sinC-cosC-1）=0$，----------------------（4分）
因为sinB≠0，
所以$\sqrt{3}sinC-cosC=1$，可得：$sin（C-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∴$C-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，
∴$C=\frac{π}{3}$．----------------------（6分）
（Ⅱ）由已知a=5，${S_{△ABC}}=5\sqrt{3}$，得$\frac{1}{2}×5b×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=5\sqrt{3}⇒b=4$，------（8分）
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=21，故$c=\sqrt{21}$，…（10分）
可得：$sinB=\frac{bsinC}{c}=\frac{4}{{\sqrt{21}}}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．