Question

函数f(x)=

3

sinxsin(x+

π

2

)+sin2x在[0，

2π

3

]上的值域是

 

．

Answer 1

分析：利用诱导公式、二倍角公式、两角差的正弦函数化简函数f(x)=

3

sinxsin(x+

π

2

)+sin2x为y=sin(2x-

π

6

)+

1

2

；根据x的范围求出2x-

π

6

的范围，然后求出y=sin(2x-

π

6

)+

1

2

的值域．

解答：解：因为f(x)=

3

sinxsin(x+

π

2

)+sin2x=

3

sinxcosx+

1-cos2x

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+

1

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，x∈[0，

2π

3

]?2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]?sin(2x-

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
故f(x)∈[0，

3

2

]
故答案为：[0，

3

2

]

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简，基本公式的灵活应用，三角函数的值域的求法，考查计算能力．