Question

17．已知函数f（x）=log_a（x²-ax+$\frac{2a}{3}$）在x∈（-∞，1]上为单调函数，求实数a的取值范围，并判断f（x）在x∈
（-∞，1]上为是增函数还是减函数．

Answer 1

分析 由题意：函数f（x）=log_a（x²-ax+$\frac{2a}{3}$）在x∈（-∞，1]上为单调函数，则x²-ax+$\frac{2a}{3}$在x∈（-∞，1]上必须大于0，即可求实数a的取值范围．根据复合函数的性质，同增异减，即可判断其单调性！

解答 解：由题意：函数f（x）=log_a（x²-ax+$\frac{2a}{3}$）在x∈（-∞，1]上为单调函数，
即：函数h（x）=x²-ax+$\frac{2a}{3}$）在x∈（-∞，1]有h（x）＞0恒成立．
那么：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}＞1}\\{h（1）＞0}\end{array}\right.$，解得：2＜a＜3，
所以实数a的取值范围是（2，3）．
∵2＜a＜3，
∴f（x）=log_ah（x）（h（x）＞0）在定义域内是增函数．
h（x））=x²-ax+$\frac{2a}{3}$在x∈（-∞，1]是减函数，
根据复合函数的单调性“同增异减”，
可得f（x）在x∈（-∞，1]上为是减函数．

点评 本题考查了对数函数的性质的运算能力和复合函数的单调性“同增异减”的运用能力．属于中档题．