Question

1．已知sinA+sinB=sinC，cosA+cosB=cosC，求证：sin²A+sin²B+sin²C=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用同角的三角函数关系和两角和与差的公式，求出cos（B-C）=$\frac{1}{2}$，再求出cos2A+cos2B+cos2C=0，利用降幂公式即可求出sin²A+sin²B+sin²C的值，即可得证．

解答 证明：由sinA=sinC-sinB，cosA=cosC-cosB，sin²A+cos²A=1，
∴（sinC-sinB）²+（cosC-cosB）²=1，
sin²B-2sinBsinC+sin²C+cos²B-2cosBcosC+cos²C=1，
可得：2-2cos（B-C）=1，
即cos（B-C）=$\frac{1}{2}$，
∵cos2A+cos2B+cos2C
=2cos²A-1+cos2B+cos2C，
=2cos²B+2cos²C-1-4cosBcosC+cos2B+cos2C，
=2cos2B+2cos2C-4cosBcosC+1，
=4cos（B+C）cos（B-C）-2[cos（B+C）+cos（B-C）]+1，
=2cos（B+C）-2cos（B+C）-1+1，
=0；
∴sin²A+sin²B+sin²C=$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{1-cos2B}{2}$+$\frac{1-cos2C}{2}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（cos2A+cos2B+cos2C）=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查同角的基本关系，两角和差的正余弦公式及二倍角公式，证明过程复杂，需要敏锐的观察能力，属于中档题．