Question

15．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=$\frac{5π}{3}$．
（Ⅰ）求出a的值；
（Ⅱ）若g（x）=asinx+cosx，求出函数g（x）在区间[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知函数f（x）的一条对称轴是$x=\frac{5π}{3}$，可得$f（0）=f（\frac{10π}{3}）$，利用特殊角的三角函数值即可计算得解a的值．
（Ⅱ）利用三角函数恒等变换的应用化简可得$g（x）=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinx+cosx=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}cos（x+\frac{π}{6}）$，由$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，可求x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用余弦函数的单调性即可得解．

解答 解：（Ⅰ）因为函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴是$x=\frac{5π}{3}$，
所以$f（0）=f（\frac{10π}{3}）$，
所以$a=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{a}{2}$，
所以$a=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（Ⅱ）$g（x）=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinx+cosx=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}cos（x+\frac{π}{6}）$，
因为$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，
所以 x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]．g（x）的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，g（x）的最小值为0．

点评 本题考查三角函数的对称性，考查三角函数的化简，考查正弦函数的单调性，属于中档题．