Question

由函数f（x）=xlnx-x的图象在点P（e，f（e））处的切线l与直线x=e^-1，直线x=e（其中e是自然对数的底数）及曲线y=lnx所围成的曲边四边形（如图中的阴影部分）的面积S=

 

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出曲线y=lnx与直线x=e^-1，直线x=e所围成的封闭区域，然后分析平面区域的形状，进而利用定积分求出封闭区域的面积．

解答：解：函数f（x）=xlnx-x，∴f′（x）=lnx，
f（e）=0，f′（x）=1，L：y=x-e，
∴所围成的封闭区域如图所示：
所以S=2∫

1

e

^e（ lnx-x+e）dx=（ xlnx-x-

1

2

x²+ex）| 

1

e

^e=

e 2

2

+

2

e

+

1

2e 2

-1
故答案为

e 2

2

+

2

e

+

1

2e 2

-1．

点评：平面区域的面积问题是定积分问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合定积分求面积．