Question

1．已知正态分布密度函数为f（x）=$\frac{1}{{\sqrt{2π}σ}}{e^{-\frac{{{{（x-μ）}^2}}}{{2{σ^2}}}}}$，x∈R．
（I）判断f（x）的奇偶性并求出最大值；
正态分布常用数据：

P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826 P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544 P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974

（II）如果X～N（3，1），求P（X＜0）的值．

Answer 1

分析 （I）分类讨论，即可得出结论；
（II）如果X～N（3，1），μ=3，σ=1，利用3σ原则可得结论．

解答 解：（I）当μ=0时，f（x）为偶函数；
当μ≠0时，f（x）为既不是奇函数也不是偶函数；
当x=μ时，f（x）取得最大值为$f（x）{|_{Max}}=\frac{1}{{\sqrt{2π}σ}}$；…（6分）
（ II） $P（X＜0）=\frac{1}{2}（1-0.9974）=0.0013$…（12分）

点评 本题考查正态分布密度函数，会使用分类讨论的思想解决问题是关键．