Question

7．已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式中第6项为常数项．
（1）求展开式中所有项的二项式系数和；
（2）求展开式中所有项的系数和；
（3）求展开式中所有的有理项．

Answer 1

分析 由已知得到n值然后由展开式的通项分别解答即可．

解答 解：因为在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式中第6项为常数项，所以${C}_{n}^{5}（\root{3}{x}）^{n-5}（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{5}$=$-\frac{1}{{2}^{5}}{C}_{n}^{5}{x}^{\frac{n-10}{3}}$为常数项，所以n=10，
所以（1）展开式中所有项的二项式系数和为2¹⁰；
（2）令x=1，得到展开式中所有项的系数和为$\frac{1}{{2}^{10}}$；
（3）展开式中通项为$（-\frac{1}{2}）^{r}{C}_{10}^{r}x\frac{10-2r}{3}$，令$\frac{10-2r}{3}$为整数，0≤r≤10，得到r=2，5，8，所以展开式中所有的有理项有$\frac{45}{4}{x}^{2}$，$-\frac{63}{8}$，$\frac{45}{256}{x}^{-2}$．

点评 本题考查了二项式定理的运用；关键是利用展开式的通项正确确定n值；属于基础题．