Question

3．设函数f（x）=e^x-2ax-1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若对任意正实数x，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过a的范围，确定函数的单调区间，结合f（0）=0，从而求出满足条件的a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-2ax-1，f′（x）=f（x）=e^x-2a，
若a≤0，则f′（x）＞0，f（x）在R递增，
若a＞0，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2a，令f′（x）＜0，解得：x＜ln2a，
∴f（x）在（-∞，ln2a）递减，在（ln2a，+∞）递增；
（Ⅱ）f（x）=e^x-2ax-1，f′（x）=f（x）=e^x-2a，
（i）若a≤$\frac{1}{2}$，则x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）递增，又f（0）=0，
从而当x＞0时，f（x）＞0恒成立，
故a≤$\frac{1}{2}$符合题意；
（ii）若a＞$\frac{1}{2}$，则x∈（0，ln2a）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（ln2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，而f（0）=0，
从而当x∈（0，ln2a）时，f（x）＜0，
故a＞$\frac{1}{2}$不合题意，
综上，a∈（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．