Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且6a_n+S_n=7
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=a_n+1•（2n+1），证明：对任意n∈N^*，不等式b₆≥b_n恒成立．

Answer 1

分析 （I）当n=1时，a₁=S₁，得a₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，将n换为n-1，可得7a_n-6a_n-1=0，运用等比数列的通项公式，即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=（2n+1）•（$\frac{6}{7}$）ⁿ，b_n+1=（2n+3）•（$\frac{6}{7}$）ⁿ⁺¹，作商判断数列{b_n}的单调性，求得最大值，即可得证．

解答 解：（I）6a_n+S_n=7，
当n=1时，a₁=S₁，即有6a₁+S₁=7，
解得a₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
6a_n+S_n=7，6a_n-1+S_n-1=7，
两式相减可得，7a_n-6a_n-1=0，
可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{6}{7}$，
可得a_n=（$\frac{6}{7}$）^n-1；
（Ⅱ）证明：b_n=a_n+1•（2n+1）=（2n+1）•（$\frac{6}{7}$）ⁿ，
b_n+1=（2n+3）•（$\frac{6}{7}$）ⁿ⁺¹，
由$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{6（2n+3）}{7（2n+1）}$，
$\frac{6（2n+3）}{7（2n+1）}$-1=$\frac{11-2n}{14n+7}$，
当n=1，2，…，5时，b₁＜b₂＜b₃＜b₄＜b₅＜b₆，
当n=6，7，…时，b₆＞b₇＞…＞b_n＞…
可得b₆为最大值．
即有对任意n∈N^*，不等式b₆≥b_n恒成立．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用通项与前n项和的关系，考查数列的单调性的判断和应用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．