Question

8．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=3，且对任意的正整数n，都有S_n+1=λS_n+3ⁿ⁺¹，其中常数λ＞0．设b_n=$\frac{a_n}{3^n}$（n∈N^*）﹒
（1）若λ=3，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若λ≠1且λ≠3，设c_n=a_n+$\frac{2}{λ-3}×{3^n}$（n∈N^*），证明数列{c_n}是等比数列；
（3）若对任意的正整数n，都有b_n≤3，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用递推关系、等比数列的定义及其通项公式即可得出；
（3）通过对λ分类讨论，利用数列的通项公式及其不等式的性质即可得出．

解答 （1）解：∵${S_{n+1}}=λ{S_n}+{3^{n+1}}$，n∈N^*，
∴当n≥2时，${S_n}=λ{S_{n-1}}+{3^n}$，
从而${a_{n+1}}=λ{a_n}+2•{3^n}$，n≥2，n∈N^*﹒
又在${S_{n+1}}=λ{S_n}+{3^{n+1}}$中，令n=1，可得${a_2}=λ{a_1}+2•{3^1}$，满足上式，
∴${a_{n+1}}=λ{a_n}+2•{3^n}$，n∈N^*﹒
当λ=3时，${a_{n+1}}=3{a_n}+2•{3^n}$，n∈N^*，
从而$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{3^{n+1}}}}=\frac{a_n}{3^n}+\frac{2}{3}$，即${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{2}{3}$，
又b₁=1，所以数列{b_n}是首项为1，公差为$\frac{2}{3}$的等差数列，
∴${b_n}=\frac{2n+1}{3}$． 
（2）证明：当λ＞0且λ≠3且λ≠1时，${c_n}={a_n}+\frac{2}{λ-3}×{3^n}=λ{a_{n-1}}+2×{3^{n-1}}+\frac{2}{λ-3}×{3^n}$=$λ{a_{n-1}}+\frac{2}{λ-3}×{3^{n-1}}（λ-3+3）=λ（{a_{n-1}}+\frac{2}{λ-3}×{3^{n-1}}）=λ•{c_{n-1}}$，
又${c_1}=3+\frac{6}{λ-3}=\frac{3（λ-1）}{λ-3}≠0$，
∴{c_n}是首项为$\frac{3（λ-1）}{λ-3}$，公比为λ的等比数列，${c_n}=\frac{3（λ-1）}{λ-3}•{λ^{n-1}}$﹒
（3）解：在（2）中，若λ=1，则c_n=0也适合，∴当λ≠3时，${c_n}=\frac{3（λ-1）}{λ-3}•{λ^{n-1}}$．
从而由（1）和（2）可知：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{（2n+1）×{3}^{n-1}，λ=3}\\{\frac{3（λ-1）}{λ-3}•{λ}^{n-1}-\frac{2}{λ-3}×{3}^{n}，λ≠3}\end{array}\right.$．
当λ=3时，${b_n}=\frac{2n+1}{3}$，显然不满足条件，故λ≠3．
当λ≠3时，${b_n}=\frac{λ-1}{λ-3}×{（\frac{λ}{3}）^{n-1}}-\frac{2}{λ-3}$．
若λ＞3时，$\frac{λ-1}{λ-3}＞0$，b_n＜b_n+1，n∈N^*，b_n∈[1，+∞），不符合，舍去．
若0＜λ＜1时，$\frac{λ-1}{λ-3}＞0$，$-\frac{2}{λ-3}＞0$，b_n＞b_n+1，n∈N^*，且b_n＞0．
∴只须${b_1}=\frac{a_1}{3}=1≤3$即可，显然成立．故0＜λ＜1符合条件；
若λ=1时，b_n=1，满足条件．故λ=1符合条件； 
若1＜λ＜3时，$\frac{λ-1}{λ-3}＜0$，$-\frac{2}{λ-3}＞0$，从而b_n＜b_n+1，n∈N^*，
∵b₁=1＞0．故${b_n}∈[1\;，-\frac{2}{λ-3}）$，要使b_n≤3成立，只须$-\frac{2}{λ-3}≤3$即可．
于是$1＜λ≤\frac{7}{3}$．  
综上所述，所求实数λ的范围是$（0\;，\frac{7}{3}]$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．