题目内容
17．已知数列{an}满足a1=511，4an=an-1-3（n≥2）．（1）求证：（an+1）是等比数列；
（2）令bn=|log2（an+1）|，求{bn}的前n项和Sn．
分析 （1）将4an=an-1-3（n≥2）转换成，a1+1=512≠0，$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=\frac{1}{4}$，{an+1}是等比数列；
（2）log2（an+1）=11-2n，写出{bn}的通项公式，bn=|11-2n|，分类讨论n≤5，所有的项都是正的，因此Sn=10n-n2，当当n≥6时，从第六项开始是负数，Sn=2T5-Tn=n2-10n+50．
解答 解：（Ⅰ）由题意可知：${a}_{n}=\frac{1}{4}{a}_{n-1}$-$\frac{3}{4}$，an+1=$\frac{1}{4}（{a}_{n+1}+1）$，
∵a1+1=512≠0，
∴{an+1}是以512为首项，$\frac{1}{4}$为公比的等比数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，${a}_{n}+1=512•（\frac{1}{4}）^{n-1}$=211-2n，
log2（an+1）=11-2n，
bn=|11-2n|，
令cn=11-2n，设{cn}的前n项和Tn=10n-n2，
当n≤5时，Sn=Tn=10n-n2，
当n≥6时，Sn=2T5-Tn=n2-10n+50，
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{10n-{n}^{2}}&{n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50}&{n≥6}\end{array}\right.$．
点评 本题考查证明数列是等比数列，采用分类讨论法求数列的前n项和，过程简单明了，属于中档题．
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12．数列{an}中，a1=1，an+1=3an+4，则数列{an}的前n项和等于（ ）
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