Question

已知椭圆C中心在原点O，对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=

1

2

，且经过点A（1，

3

2

）．
（Ⅰ）椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

为定值．
（Ⅲ）当

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质

专题：方程思想,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设出椭圆C的标准方程，用待定系数法求出a²、b²的值即可；
（Ⅱ）求出OP与OQ的斜率都存在时，对应

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

的值是什么，再讨论OP或OQ的斜率一个为0另一个不存在时，是否满足条件即可；
（Ⅲ）

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

为定值时，OP⊥OQ不一定成立，讨论直线OP或OQ的斜率一个为0另一个不存在时，以及直线OP或OQ的斜率都存在时，是否OP⊥OQ即可．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵离心率e=

c

a

=

1

2

，①
且椭圆C过点A（1，

3

2

），
∴

1

a2

+

9

4b2

=1，②
又c²=a²-b²，③
∴由①②③组成方程组，
解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；

（Ⅱ）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，
设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=-

1

k

x（k≠0），P（x，y）；
联立方程组

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，化为x²=

12

3+4k2

，
∴|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，
同理可得|OQ|²=

12(1+k2)

3k2+4

，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3k2+4

12(1+k2)

=

7

12

为定值；
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

为定值．

（Ⅲ）当

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

7

12

定值时，OP⊥OQ不一定成立，证明如下：
当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，
则

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

a2

+

1

b2

=

1

4

+

1

3

=

7

12

，满足条件；
当直线OP或OQ的斜率都存在时，
设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）；
联立方程组

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，化为x²=

12

3+4k2

，
∴|OP|²=x²+y²=

12(1+k2)

3+4k2

，
同理可得|OQ|²=

12(1+k′2)

3+4k′2

，
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3+4k2

12(1+k2)

+

3+4k′2

12(1+k′2)

=

7

12

；
化为（kk′）²=1，
∴kk′=±1；
∴OP⊥OQ或kk′=1，
因此OP⊥OQ不一定成立．

点评：本题考查了椭圆的几何性质的应用问题，也考查了直线与椭圆方程的综合应用问题，考查了直线的垂直应用问题，是综合性题目．