Question

椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂.点P(a，b)满足|PF₂|＝|F₁F₂|.

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设直线PF₂与椭圆相交于A，B两点．若直线PF₂与圆(x＋1)²＋(y－)²＝16相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．

Answer 1

解：(1)设F₁(－c,0)，F₂(c,0)(c＞0)，

因为|PF₂|＝|F₁F₂|，

所以＝2c.

整理得2()²＋－1＝0.

即2e²＋e－1＝0，所以e＝或－1(舍)．

(2)由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x²＋4y²＝12c²，

直线PF₂的方程为y＝(x－c)．

A，B两点的坐标满足方程组

消去y并整理，得5x²－8cx＝0.

解得x₁＝0，x₂＝c.得方程组的解

不妨设A，B(0，－c)，

所以|AB|＝＝c.于是|MN|＝|AB|＝2c.

圆心(－1，)到直线PF₂的距离

d＝

因为d²＋²＝4²，所以(2＋c)²＋c²＝16.整理得7c²＋12c－52＝0，得c＝－(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为＋＝1.