Question

7．如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥BC，AB=BC=1，PA=AD=2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点．
（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）求直线CE与平面PAD所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证明CE∥平面PAB；只需要证明CE与平面PAB内的一条直线平行即可．由题意，E为PD中点．取AP中点F，连接EF，BF，证明CE∥BF即可．
（Ⅱ）过E点作AP平行线交AD于M，连接CM，证明CM垂直平面ADP，那么∠MCE就是直线CE与平面PAD所成角．（作（找），证，算，三步骤都不能少）

解答 解：（1）证明：取PA的中点为F，连接EF、BF，
∵E为PD中点，
∴EF∥AD，且$EF=\frac{1}{2}AD$，
又∵BC∥AD，$BC=\frac{1}{2}AD$，
所以：BC${\;}_{=}^{∥}$EF，
因此：四边形BCEF为平行四边形，
所以：CE∥BF，
又∵CE?平面PAB，BF?平面PAB，
所以：CE∥平面PAB．
得证．
（2）过E点作AP平行线交AD于M，连接CM、EM．
∵PA⊥平面ABCD，E为PD中点，
∴M为AD的中心，则有BC${\;}_{=}^{∥}$AM，所以四边形ABCM是平行四边形，AB∥CM，CM⊥AD，
CM?平面ABCD，所以PA⊥CM，
又∵AM∩PA=A，CM⊥平面PAB
∴CM⊥EM，
那么∠MCE就是直线CE与平面PAD所成角．
又∵PA=2，E、M分别为PD、AD的中点，
∴CM=EM=1，所以∠ECM=45°，
故直线CE与平面PAD所成角为45°．

点评 本题考查了线面平行的证明方法，即只需要证明直线与平面内的一条直线平行即可．同时考查了线面角的求法，必须具备有三步骤：作（找），证，算，三步骤，一步都都不能少．利用中点作辅助线是解本题的关键．属于基础题．