Question

12．已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为$\frac{π}{4}$，则f（x）的最小正周期为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． π
• D． 2π

Answer 1

分析 化f（x）为正弦型函数，令f（x）=1求出x的值，利用曲线y=f（x）与直线y=1的交点中相邻交点距离的最小值为$\frac{π}{4}$，得出ω|x₂-x₁|=$\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{4}$，从而求出ω和f（x）的最小正周期T．

解答 解：函数f（x）=sinωx+cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
令f（x）=1，得sin（ωx+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ωx+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z，
或ωx+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$+2kπ，k∈Z；
又在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值为$\frac{π}{4}$，
∴ω|x₂-x₁|=$\frac{3π}{4}$-$\frac{π}{4}$，
即$\frac{π}{4}$ω=$\frac{π}{2}$，
解得ω=2，
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{ω}$=π．
故选：C．

点评 本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．