Question

已知点A(2，8)，B(x₁，y₁)，C(x₂，y₂)在抛物线y²＝2px(p＞0)上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合(如图)

(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

(2)求线段BC中点M的坐标；

(3)求BC所在直线的方程．

Answer 1

答案：
解析：

[解析]：(1)由点A(2，8)在抛物线上，有， 　　解得p＝16．所以抛物线方程为，焦点F的坐标为(8，0). 　　(2)如图，由于F(8，0)是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且，设点M的坐标为，则 　　，解得， 　　所以点M的坐标为(11，－4)． 　　(3)由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.设BC所在直线的方程为： 　　由消x得， 　　所以，由(2)的结论得，解得 　　因此BC所在直线的方程为：