题目内容
13．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.2sin2$\frac{A+B}{2}$=1+cos2C，且c=$\sqrt{3}$，则△ABC面积S的取值范围为（0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．分析 由题意和三角函数公式可得C=120°，再由余弦定理和基本不等式可得ab的范围，再由三角形的面积公式可得．
解答 解：∵2sin2$\frac{A+B}{2}$=1+cos2C，∴1-cos（A+B）=1+cos2C，
∴1+cosC=1+cos2C，∴cosC=2cos2C-1，
解得cosC=$-\frac{1}{2}$或cosC=1，
∵C为三角形内角，∴cosC=$-\frac{1}{2}$，∴C=120°，
∴由余弦定理可得3=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab，
由基本不等式可得3=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，
∴ab≤1，当且仅当a=b时取等号，
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．
点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及解三角形和基本不等式，属中档题．
练习册系列答案
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4．
如图，在平面直角坐标系xOy中，对于曲线Γ，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线π上的任意两个不同的点A，B恒成立，则称角α为曲线的相对于点O的“渐近角”并称其中最小的“渐近角”为曲线Γ的相对于点O的“望角”．已知曲线C：y=$\left\{\begin{array}{l}{2x{e}^{x-1}+2，x＞0}\\{\frac{\sqrt{36+25{x}^{2}}}{3}，x≤0}\end{array}\right.$（其中e=2.71828…是自然对数的底数），则曲线C的相对于点O的“望角”为（ ）
如图，在平面直角坐标系xOy中，对于曲线Γ，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线π上的任意两个不同的点A，B恒成立，则称角α为曲线的相对于点O的“渐近角”并称其中最小的“渐近角”为曲线Γ的相对于点O的“望角”．已知曲线C：y=$\left\{\begin{array}{l}{2x{e}^{x-1}+2，x＞0}\\{\frac{\sqrt{36+25{x}^{2}}}{3}，x≤0}\end{array}\right.$（其中e=2.71828…是自然对数的底数），则曲线C的相对于点O的“望角”为（ ）| A． | $\frac{3π}{4}$ | B． | $\frac{2π}{3}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{π}{4}$ |