Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且${a_1}=1，{a_{n+1}}•{a_n}={2^n}（n∈{N^*}）$，则S₂₀₁₆=（　　）

• A． 3•2¹⁰⁰⁸-3
• B． 2²⁰¹⁶-1
• C． 2²⁰⁰⁹-3
• D． 2²⁰⁰⁸-3

Answer 1

分析 a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），a₁=1，可得a_n+2•a_n+1=2ⁿ⁺¹，$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，因此数列{a_n}奇数项与偶首项分别成等比数列，公比为2，首项分别1，2分别求出和即可．

解答 解：∵a_n+1•a_n=2ⁿ（n∈N^*），a₁=1，
∴a₂=2，a₃=2．
又a_n+2•a_n+1=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，
∴数列{a_n}奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2，首项分别为1，2．
∴S₂₀₁₆=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）
=$\frac{{2}^{1008}-1}{2-1}$+$\frac{2（{2}^{1008}-1）}{2-1}$
=3•2¹⁰⁰⁸-3．
故选：A

点评 本题考查了递推关系、等比数列的前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．