Question

9．如图，已知函数y=sin（$\frac{π}{2}$-πx）的部分图象，点A（$\frac{5}{6}$，m），B（${\frac{7}{3}$，n）为函数图象上的点，线段AB与x轴交于点C，及y轴上点P（0，n），则$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{AB}$=（　　）

• A． $\frac{{25-11\sqrt{3}}}{8}$
• B． $\frac{{25-9\sqrt{3}}}{8}$
• C． $\frac{{35-11\sqrt{3}}}{8}$
• D． $\frac{{35-9\sqrt{3}}}{8}$

Answer 1

分析 利用诱导公式化简函数解析式，由题意可解得m，n的值，进而可求点A，B，P的坐标，利用两点式求得AB的方程，由线段AB与x轴交于点C，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{x-\frac{5}{6}}{\frac{7}{3}-\frac{5}{6}}}\\{y=0}\end{array}\right.$，从而解得C点坐标，再求得$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{AB}$的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算即可得解．

解答 解：∵y=sin（$\frac{π}{2}$-πx）=cosπx，
∴由题意可得：m=cos$\frac{5}{6}$π=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，n=cos${\frac{7}{3}$π=$\frac{1}{2}$，
∴可得坐标为：A（$\frac{5}{6}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），B（${\frac{7}{3}$，$\frac{1}{2}$），P（0，$\frac{1}{2}$），
∵线段AB与x轴交于点C，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{y+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{x-\frac{5}{6}}{\frac{7}{3}-\frac{5}{6}}}\\{y=0}\end{array}\right.$，从而解得C点的坐标为：（$\frac{37-9\sqrt{3}}{12}$，0），
∴$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{37-9\sqrt{3}}{12}$，-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$），
∴$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{37-9\sqrt{3}}{12}$×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$=$\frac{35-11\sqrt{3}}{8}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了诱导公式，两点式求直线的方程，平面向量数量积的坐标运算，余弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．