Question

8．若实数m，n满足4m-3n=10，则$\sqrt{{m^2}+{n^2}}$的最小值为2．

Answer 1

分析 $\sqrt{{m^2}+{n^2}}$的几何意义为：点（m，n）到原点（0，0）的距离，$\sqrt{{m^2}+{n^2}}$的最小值即为原点到直线4x-3y=10的距离，运用点到直线的距离公式，计算即可得到．

解答 解：$\sqrt{{m^2}+{n^2}}$的几何意义为：点（m，n）到原点（0，0）的距离．
∵实数m，n满足4m-3n=10，
∴点（m，n）在直线4x-3y=10上，
当点（m，n）与原点（0，0）的连线垂直于直线4x-3y=10时，$\sqrt{{m^2}+{n^2}}$最小．
即原点（0，0）到直线4x-3y=10的距离为$\frac{|-10|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}$=2．
则$\sqrt{{m^2}+{n^2}}$的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查最值的求法，注意运用$\sqrt{{m^2}+{n^2}}$的几何意义，点到直线的距离公式，考查了运算能力，属于中档题．