Question

11．在△ABC中，A=$\frac{π}{4}$，CD⊥AB，且AB=3CD，则sinC=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 由题意，A=$\frac{π}{4}$，CD⊥AB，且AB=3CD，设CD=x，则AB=3x，AD=x，BD=3x，勾股定理可得AC=$\sqrt{2}x$，CB=$\sqrt{5}x$，利用余弦定理求解cosC，从而得到sinC

解答 解：由题意，设CD=x，则AB=3x，
∵A=$\frac{π}{4}$，CD⊥AB，
∴AD=x，BD=2x，
勾股定理可得AC=$\sqrt{2}x$，CB=$\sqrt{5}x$，
那么：cosC=$\frac{A{C}^{2}+C{B}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了三角形的边长的求法，利用了勾股定理和余弦定理．属于基础题．