Question

4．已知函数f（x）=log_a|ax²-x|在[1，2]上单调，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$]∪{$\frac{1}{2}$}∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 令t=|ax²-x|，画出其图象，要使原复合函数在[1，2]上单调，则需内函数t=|ax²-x|在[1，2]上单调，任何对a分类讨论求解，最后取并集得答案．

解答 解：令t=|ax²-x|，其图象如图：

若a＞1则$0＜\frac{1}{a}＜1$，满足函数f（x）=log_a|ax²-x|在[1，2]上单调；
若0＜a＜1，则$\frac{1}{a}＞1$，要使函数f（x）=log_a|ax²-x|在[1，2]上单调，
则$\frac{1}{2a}≥2$①，或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤1}\\{\frac{1}{a}≥2}\end{array}\right.$②，
解①得，0$＜a≤\frac{1}{4}$，
解②得，a=$\frac{1}{2}$．
综上，实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$]∪{$\frac{1}{2}$}∪（1，+∞）．
故答案为：（0，$\frac{1}{4}$]∪{$\frac{1}{2}$}∪（1，+∞）．

点评 本题考查复合函数的单调性，考查了数形结合的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，是中档题．