Question

6．如图所示，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=$\sqrt{6}$，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，AD=1，CD=3，PD=$\sqrt{3}$
（Ⅰ）证明：BC⊥PB；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明PD⊥平面ABC．AC边上的中点为E，求出BE，连接BD，在Rt△BDE中，求解BD，通过BC²+BD²=CD²，证明BC⊥BD．BC⊥PD．推出BC⊥平面PBD．得到BC⊥PB．
（Ⅱ）过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，则∠APH为直线AP与平面PBC所成的角．利用三棱锥A-PBC与三棱锥P-ABC的体积相等，求出AH．在Rt△PAD中，求出AP，即可求解直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

解答 证明：（Ⅰ）因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PD?平面PAC，PD⊥AC，
所以PD⊥平面ABC．
记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB=BC，所以BE⊥AC．
因为AB=BC=$\sqrt{6}$，AC=4，所以BE=$\sqrt{B{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
连接BD，在Rt△BDE中，因为∠BED=90°，BE=$\sqrt{2}$，DE=1，
所以BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
在△DCB中，因为CD=3，BC=$\sqrt{6}$，BD=$\sqrt{3}$，
所以BC²+BD²=CD²，所以BC⊥BD．

因为PD⊥平面AC，BC?平面ABC，
所以BC⊥PD．
因为BD∩PD=D，所以BC⊥平面PBD．
因为PB?平面PBD，所以BC⊥PB．
（Ⅱ）解：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，
则∠APH为直线AP与平面PBC所成的角．
由（Ⅰ）知，△ABC的面积${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}AC•BE=2\sqrt{2}$．
因为PD=$\sqrt{3}$，所以${V}_{P-ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PD$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
由（Ⅰ）知△PBC为直角三角形，BC=$\sqrt{6}$，PB=$\sqrt{6}$，

所以△PBC的面积S_△PBC=$\frac{1}{2}×BC×PB$=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}×\sqrt{6}$=3．
因为三棱锥A-PBC与三棱锥P-ABC的体积相等，
即$\frac{1}{3}×3×AH=\frac{2\sqrt{6}}{3}$，所以AH=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
在Rt△PAD中，因为PD=$\sqrt{3}$，AD=1，
所以AP=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}$=2．
因为sin∠APH=$\frac{AH}{AP}$=$\frac{\frac{2\sqrt{6}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面市场价的求法，考查计算能力以及转化思想的应用．