题目内容

定义在R上的函数R,是奇函数, 当且仅当时，

取得最大值.

（1）求的值;

（2）若函数在区间上有且仅有两个不同的零点，求实数

的取值范围.

（1） 函数是奇函数,

      .

      , 得. ……………………………（2分）                             

      .

      若 则函数的定义域不可能是R, 又, 故.                                                      

      当≤时，≤;                                   

      当时, ≤. …………………………（4分）

      当且仅当, 即时, 取得最大值.              

      依题意可知, 得.

（2）由（1）得，令，即.

    化简得.

     或 .  

    若是方程的根, 则, 此时方程的另一根为1, 不符合题意.  

 函数在区间上有且仅有两个不同的零点等价于方程

       (※)在区间上有且仅有一个非零的实根.  …（9分）

    （1）当时, 得方程(※)的根为, 不符合题意.           

（2）当时, 则

      ①当时, 得.

      若, 则方程(※)的根为,符合题意;

     若, 则方程(※)的根为,不符合题意.

     .

     ② 当时,  令,

       由 得.

. 若, 得, 此时方程的根是, , 不符合题意. …………………………………（13分）                            

   综上所述, 所求实数的取值范围是.

练习册系列答案
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16、若定义在R上的函数f（x）满足f（λx+μy）=λf（x）+μf（y）（x，y，λ，μ均为实数），则称f（x）为R上的线性变换，现有下列命题：
①f（x）=2x是R上的线性变换；②若f（x）是R上的线性变换，则f（kx）=kf（x）（k∈R）；③若f（x）和g（x）均是R上的线性变换，则f（x）+g（x）是R上的线性变换；④f（x）是R上的线性变换的充要条件是f（x）是R上的一次函数．
其中是真命题的是
①②③
．（写出所有真命题的编号）
设定义在R上的函数f(x)=a0x4+a1x3+a2x+a3（a0，a1，a2，a3∈R），当x=-1时，f（x）取极大值
2
3
，且函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）试在函数y=f（x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在[-
2
，
2
]上；
（Ⅲ）设xn∈[
1
2
，1)，ym∈(-
2
，-
2
3
2
]，求证：|f(xn)-f(ym)|＜
4
3
．
定义在R上的函数，对任意x1，x2∈R，都有f(
x1+x2
2
)≥
1
2
[f(x1)+f(x2)]，则称函数f（x）是R上的凸函数．已知二次函数f（x）=ax2+x（a∈R，a≠0）．
（1）求证：当a＜0时，函数f（x）是凸函数；
（2）对任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立，求实数a的取值范围．
已知定义在R上的二次函数R（x）=ax2+bx+c满足2R（-x）-2R（x）=0，且R（x）的最小值为0，函数h（x）=lnx，又函数f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的单调区间；  
（II）当a≤时，若x∈[1，3]，求f（x）的最小值；
（III）若二次函数R（x）图象过（4，2）点，对于给定的函数f（x）图象上的点A（x1，y1），当时，探求函数f（x）图象上是否存在点B（x2，y2）（x2＞2），使A、B连线平行于x轴，并说明理由．（参考数据：e=2.71828…）
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（III）若二次函数R（x）图象过（4，2）点，对于给定的函数f（x）图象上的点A（x1，y1），当时，探求函数f（x）图象上是否存在点B（x2，y2）（x2＞2），使A、B连线平行于x轴，并说明理由．（参考数据：e=2.71828…）

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