Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=2，c=2b，则△ABC的面积的最大值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 a=2，c=2b，利用余弦定理可得：cosA=$\frac{5{b}^{2}-2}{4{b}^{2}}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$．代入△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bc$sinA，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：∵a=2，c=2b，
∴2²=4b²+b²-4b²cosA，
可得cosA=$\frac{5{b}^{2}-2}{4{b}^{2}}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{（9{b}^{2}-2）（2-{b}^{2}）}}{4{b}^{2}}$，由（9b²-2）（2-b²）≥0，解得$\frac{2}{9}≤{b}^{2}$≤2．
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{1}{2}×2{b}^{2}$×$\frac{\sqrt{（9{b}^{2}-2）（2-{b}^{2}）}}{4{b}^{2}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{-9（{b}^{2}-\frac{10}{9}）^{2}+\frac{64}{9}}$≤$\frac{2}{3}$，当且仅当b²=$\frac{10}{9}$时取等号．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、同角三角函数基本关系式、二次函数的单调性、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．