Question

7．已知数列{a_n}是等差数列，a₁+a₂+a₃=6，a₅=5．
（ I）求数列{a_n}的通项公式；
（ II）若${b_n}={a_n}•{2^{a_n}}，（n∈N*）$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁+a₂+a₃=6，a₅=5求出数列{a_n}的公差即可；
（Ⅱ）${S_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}$…①，$2{S_n}=1•{2^2}+2•{2^3}+3•{2^4}+…+（n-1）•{2^n}+n•{2^{n+1}}$…②
利用错位相减法求和即可．

解答 解：（Ⅰ）∵数列{a_n}是等差数列，a₁+a₂+a₃=6，∴3a₂=6，即a₂=2…（2分）
又a₅=5∴数列{a_n}的公差$d=\frac{{{a_5}-{a_2}}}{3}=1$…（4分）∴a₁=1…（5分）
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=n…（6分）
（Ⅱ）∵${b_n}={a_n}•{2^{a_n}}，（n∈N*）$∴${b_n}=n•{2^n}，（n∈N*）$…（7分）
∴${S_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}$…①
∴$2{S_n}=1•{2^2}+2•{2^3}+3•{2^4}+…+（n-1）•{2^n}+n•{2^{n+1}}$…②…（8分）
①-②得：$-{S_n}=2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}$…（9分）
∴${S_n}=n•{2^{n+1}}-\frac{{2•（1-{2^n}）}}{1-2}$                                      …（10分）
∴${S_n}=n•{2^{n+1}}-2•（{2^n}-1）=（n-1）•{2^{n+1}}+2$…（11分）
∴数列{b_n}的前n项和${S_n}=（n-1）•{2^{n+1}}+2$．…（12分）

点评 本题考查了等差数列的通项，及错位相减法求和，属于基础题．