Question

4．若函数f（x）=ae^x-x有两个零点，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 对f（x）求导，讨论f′（x）的正负以及对应f（x）的单调性，得出函数y=f（x）有两个零点的等价条件，从而求出a的取值范围；

解答 解：∵f（x）=ae^x-x，∴f′（x）=ae^x-1；
下面分两种情况讨论：
①a≤0时，f′（x）＜0在R上恒成立，∴f（x）在R上是减函数，不合题意；
②a＞0时，由f′（x）=0，得x=-lna，当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-lna）	-lna	（-lna，+∞）
f′（x）	-	0	+-
f（x）	递减	极小值-lna-1	递增

∴f（x）的单调减区间是（-∞，-lna），增区间是（-lna，+∞）；
∴函数y=f（x）有两个零点等价于如下条件同时成立：
（i）f（-lna）＞0，（ii）存在s₁∈（-∞，-lna），满足f（s₁）＜0，（iii）存在s₂∈（-lna，+∞），满足f（s₂）＜0；
由f（-lna）＞0，即-lna-1＞0，解得0＜a＜e^-1；
取s₁=0，满足s₁∈（-∞，-lna），且f（s₁）=-a＜0，
取s₂=$\frac{2}{a}$+ln$\frac{2}{a}$，满足s₂∈（-lna，+∞），且f（s₂）=（$\frac{2}{a}$-e$\frac{2}{a}$）+（ln$\frac{2}{a}$-e$\frac{2}{a}$）＜0；
∴a的取值范围是（0，e^-1）．
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查了导数的运算以及利用导数研究函数的单调性与零点问题，也考查了函数思想、化归思想和分析问题、解决问题的能力．