Question

1．已知函数y=f（x）对任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是①．
①$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（-$\frac{π}{4}$）
②$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{4}$）
③f（0）＞2f（$\frac{π}{3}$）
④f（0）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 根据条件构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．

解答 解：构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，
则g′（x）=$\frac{1}{{cos}^{2}x}$（f′（x）cosx+f（x）sinx），
∵对任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）满足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）单调递增，
则g（-$\frac{π}{3}$）＜g（-$\frac{π}{4}$），即 $\frac{f（-\frac{π}{3}）}{cos（-\frac{π}{3}）}$＜$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{cos（-\frac{π}{4}）}$，
∴$\frac{f（-\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$＜$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，即$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＜f（-$\frac{π}{4}$），故①正确，
g（$\frac{π}{3}$）＞g（$\frac{π}{4}$），即$\frac{f（\frac{π}{3}）}{cos\frac{π}{3}}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{cos\frac{π}{4}}$，
∴$\frac{f（\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$＞$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，即$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{4}$），故②错误，
g（0）＜g（$\frac{π}{3}$），即 $\frac{f（0）}{cos0}$＜$\frac{f（\frac{π}{3}）}{cos\frac{π}{3}}$，
∴f（0）＜2f（$\frac{π}{3}$），故③错误，
g（0）＜g（$\frac{π}{4}$），即$\frac{f（0）}{cos0}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{cos\frac{π}{4}}$，
∴f（0）＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，即f（0）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），故④错误，
故答案为：①．

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．