Question

19．已知{a_n}是各项均为正数的数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，a₅-3b₂=7.2a${\;}_{n}^{2}$+（2-a_n+1）a_n-a_n+1=0（n∈N^*）
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_nb_n，n∈N^*，求数列{c_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用$2a_n^2+（2-{a_{n+1}}）{a_n}-{a_{n+1}}=0$得：a_n+1（a_n+1）=2a_n（a_n+1）．根据{a_n}的各项都为正数，可得$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$．再利用等比数列的通项公式可得a_n．再利用等差数列的通项公式可得b_n．
（2）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由$2a_n^2+（2-{a_{n+1}}）{a_n}-{a_{n+1}}=0$得：a_n+1（a_n+1）=2a_n（a_n+1）．
∵因为{a_n}的各项都为正数，∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=2$．
故{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
因此数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^{n-1}}（n∈{N^*}）$．
设数列{b_n}的公差为d，由a₅-3b₂=7，b₁=1得d=2，
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=2n-1，n∈N^*．
（2）由（1）知c_n=（2n-1）•2^n-1，设{c_n}的前n项和为S_n，
则S_n=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n-3）×2^n-2+（2n-1）×2^n-1，
2S_n=1×2¹+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
上述两式相减，得
-S_n=1+2²+2³+…+2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ
=2ⁿ⁺¹-3-（2n-1）×2ⁿ
=-（2n-3）×2ⁿ-3，
所以S_n=（2n-3）•2ⁿ+3，n∈N^*．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．